Question

【题目】已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝　 　；

（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；

（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）PQ是一个常数，即是常数m；（3）2AP+CQ﹣2PQ＜1，见解析．

【解析】

（1）根据已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；

（2）由题意根据已知条件AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP进行分析即可；

（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系．

解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵点C恰好在线段AB中点，

∴AC＝BC＝AB，

∵AB＝6，

∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；

故答案为：4；

（2）①点C在线段AB上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ+CP=AC+BC＝×（AC+BC）＝AB=m；

②点C在线段BA的延长线上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m；

③点C在线段AB的延长线上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m；

故PQ是一个常数，即是常数m；

（3）如图：

∵CQ＝2AQ，

∴2AP+CQ﹣2PQ

＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）

＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ

＝CQ﹣2AQ

＝2AQ﹣2AQ

＝0，

∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．