Question

8．如图，△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，C=10．

（1）若这个三角形的周长为24，试求它的面积；
（2）若a=6，点P在直角边BC、AC上移动，过点P作PQ⊥AB与Q，连结PB（P在AC上）或连结AP（P在BC上）．当PQ与BP（或AP）将△ABC分成的三个直角三角形中有两个是全等三角形，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性质结合已知c的值得出ab的值即可得出答案；
（2）分别利用若P在BC上，可有△ACP≌△AQP，若P在AC上，可有△BCP≌△BQP，若P在AC上，也可有△AQP≌△BQP，分别求出答案．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=14}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=100}\end{array}\right.$，
则（a+b）²=196=a²+b²+2ab，
故ab=48，
故它的面积为24．

（2）①如图1，
若P在BC上，可有△ACP≌△AQP，设CP=x，则BP=6-x，AQ=AC=8，
故BQ=2，
则2²+x²=（6-x）²，
解得：x=$\frac{8}{3}$，
利用勾股定理可得：
AP=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}+{8}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{3}$；

②如图2，
若P在AC上，可有△BCP≌△BQP，设CP=x，
易得4²+x²=（8-x）²，
解得x=3．得AP=5；

③如图3，若P在AC上，也可有△AQP≌△BQP，
设AP=x，易得6²+（8-x）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{4}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和完全平方公式的应用，正确利用分类讨论得出是解题关键．