【题目】如图1,点为正的边上一点(不与点重合),点分别在边上,且.
(1)求证:;
(2)设,的面积为,的面积为,求(用含的式子表示);
(3)如图2,若点为边的中点,求证: .
图1 图2
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断;
(2)如图2中,分别过E,F作EG⊥BC于G,FH⊥BC于H,S1=BDEG=BDEG=aBEsin60°=aBE,S2=CDFH=bCF,可得S1S2=abBECF,由(1)得△BDE∽△CFD,,即BEFC=BDCD=ab,即可推出S1S2=a2b2;
(3)想办法证明△DFE∽△CFD,推出,即DF2=EFFC;
(1)证明:如图1中,
在△BDE中,∠BDE+∠DEB+∠B=180°,又∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,
∴∠BDE+∠DEB+∠B=∠BDE+∠EDF+∠FDC,
∵∠EDF=∠B,
∴∠DEB=∠FDC,
又∠B=∠C,
∴△BDE∽△CFD.
(2)如图2中,分别过E,F作EG⊥BC于G,FH⊥BC于H,
S1=BDEG=BDEG=aBEsin60°=aBE,S2=CDFH=bCF,
∴S1S2=abBECF
由(1)得△BDE∽△CFD,
∴,即BEFC=BDCD=ab,
∴S1S2=a2b2.
(3)由(1)得△BDE∽△CFD,
∴,
又BD=CD,
∴,
又∠EDF=∠C=60°,
∴△DFE∽△CFD,
∴,即DF2=EFFC.
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【题目】如图,从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°,则该电线杆PQ的高度( )
A. 6+2 B. 6+ C. 10﹣ D. 8+
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【题目】小敏家对面新建了一幢图书大厦,小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°,大厦底部的仰角为30°,如图所示,量得两幢楼之间的距离为20米.
(1)求出大厦的高度BD;
(2)求出小敏家的高度AE.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴相交于、两点.若在抛物线上有且只有三个不同的点、、,使得、、的面积都等于,则的值是( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系,格点△ABC(顶点是网格线的交点)的坐标分别是A(﹣2,2),B(﹣3,1),C(﹣1,0).
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△DEF,画出△DEF;
(2)以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,在网格内画出放大后的△A1B1C1,若P(x,y)为△ABC中的任意一点,这次变换后的对应点P1的坐标为 .
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【题目】如图,在港口A的南偏东37°方向的海面上,有一巡逻艇B,A、B相距20海里,这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上,有一渔船C发生故障.得知这一情况后,巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援,问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处?
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈)
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【题目】在平面直角坐标系中,有两条抛物线关于x轴对称,且他们的顶点相距10个单位长度,若其中一条抛物线的函数表达式为y=+6x+m,则m的值是 ( )
A. -4或-14 B. -4或14 C. 4或-14 D. 4或14
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【题目】木匠黄师傅用长AB=3,宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:
方案一:直接锯一个半径最大的圆;
方案二:圆心O1,O2分别在CD,AB上,半径分别是O1C,O2A,锯两个外切的半圆拼成一个圆;
方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;
方案四:锯一块小矩形BCEF拼接到矩形AEFD下面,并利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆。
(1)写出方案一中的圆的半径;
(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?
(3)在方案四中,设CE=(),圆的半径为,
①求关于的函数解析式;
②当取何值时圆的半径最大?最大半径是多少?并说明四种方案中,哪一个圆形桌面的半径最大?
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【题目】矩形纸片ABCD,AB=9,BC=6,在矩形边上有一点P,且DP=3.将矩形纸片折叠,使点B与点P重合,折痕所在直线交矩形两边于点E,F,则EF长为_____.
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