【题目】观察下列解题过程:
计算:1+5+52+53+…+524+525的值.
解:设S=1+5+52+53+…+524+525,(1)
则5S=5+52+53+…+525+526(2)
(2)﹣(1),得4S=526﹣1
S=
通过阅读,你一定学会了一种解决问题的方法,请用你学到的方法计算:
(1)1+3+32+33+…+39+310
(2)1+x+x2+x3+…+x99+x100.
【答案】(1)S=;(2)S=
.
【解析】
试题分析:这道题是求等比数列前n项的和:
(1)设S=1+3+32+33+…+39+310,等号两边都乘以3可解决;
(2)需要分类讨论:Ⅰ当x=1时,易得结果;Ⅱ当x≠1时,设S=1+x+x2+x3+…+x99+x100等号两边都乘以x可解决.
解:(1)设S=1+3+32+33+…+39+310①
则3S=3+32+33+…+39+310+311②
②﹣①得2S=311﹣1,
所以S=;
(2)由于x为未知数,故需要分类讨论:
Ⅰ当x=1时,1+x+x2+x3+…+x99+x100=1+1+12+…+199+1100=101;
Ⅱ当x≠1时,设S=1+x+x2+x3+…+x99+x100①
则xS=x+x2+x3+…+x99+x100+x101②
②﹣①得(x﹣1)S=x101﹣1,
所以S=.
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【题目】如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行,从内到外,它们的边长依此为2,4,6,8,...,顶点依此用A1,A2,A3,A4......表示,则顶点A55的坐标是___.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线AB经过点A(﹣2,0),与y轴的正半轴交于点B,且OA=2OB.
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)点C在直线AB上,且BC=AB,点E是y轴上的动点,直线EC交x轴于点D,设点E的坐标为(0,m)(m>2),求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,若CE:CD=1:2,点F是直线AB上的动点,在直线AC上方的平面内是否存在一点G,使以C,G,F,E为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与y轴交于点C,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,BM=OM,OB=2
,点A的纵坐标为4.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接MC,求四边形MBOC的面积.
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【题目】如图,在数轴上有三个点A,B,C,回答下列问题:
(1)若将点B向右移动6个单位后,三个点所表示的数中最小的数是多少?
(2)在数轴上找一点D,使点D到A,C两点的距离相等,写出点D表示的数;
(3)在点B左侧找一点E,使点E到点A的距离是到点B的距离的2倍,并写出点E表示的数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k≠0)沿着y轴向上平移3个单位长度后,与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A.
(1)求直线BC及该抛物线的表达式;
(2)设该抛物线的顶点为D,求△DBC的面积;
(3)如果点F在y轴上,且∠CDF=45°,求点F的坐标.
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【题目】如图,将一条数轴在原点O和点B处各折一下,得到一条“折线数轴”。图中点A表示-10,点B表示10,点C表示18,我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位,动点P从点A出发,以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点Q从点C出发,以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速,设运动的时间为t秒,问:
(1)动点P从点A运动至点C需要________秒;
(2)P、Q两点相遇时,求出相遇点M所对应的数是多少?
(3)求当t为何值时,P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等.
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【题目】先阅读下列材料,再解答下列问题:
题:分解因式:
解:将“”看成整体,设
,则原式=
再将“”还原,得原式=
.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你仿照上面的方法解答下列问题:
(1)因式分解: ;
.
(2)因式分解: ;
.
(3)求证:若为正整数,则式子
的值一定是某一个正整数的平方.
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【题目】如图O为坐标原点,四边形ABCD是菱形,A(4,4),B点在第二象限,AB=5,AB与y轴交于点F,对角线AC交y轴于点E
(1)直接写出B、C点的坐标;
(2)动点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿折线段C﹣D﹣A运动,设运动时间为t秒,请用含t的代数式表示△EDP的面积;
(3)在(2)的条件下,是否存在一点P,使△APE沿其一边翻折构成的四边形是菱形?若存在,请直接写出当t为多少秒时存在符合条件的点P;若不存在,请说明理由.
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