Question

13．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，以AD为直径的圆切BC于E，连接OB、OC，试探究OB与OC有何位置关系？

Answer 1

分析 连结OE，由切线的性质得OE⊥BC，再利用直角梯形的定义得到AD⊥AB，AD⊥CD，则可判断AB和CD都是⊙O的切线，根据切线长定理得到BA=BE，CE=CD，于是根据角平分线性质定理的逆定理得到OB平分∠AOE，OC平分∠DOE，则∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠DOE）=90°，即∠BOC=90°，所以OB⊥OC．

解答 解：OB与OC垂直．理由如下：
连结OE，
∵以AD为直径的圆切BC于E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，
∴∠BAD=∠CDA=90°，
∴AD⊥AB，AD⊥CD，
而AD为直径，
∴AB和CD都是⊙O的切线，
∴BA=BE，CE=CD，
∴OB平分∠AOE，OC平分∠DOE，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠2=$\frac{1}{2}$∠DOE，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠DOE）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即∠BOC=90°，
∴OB⊥OC．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了直角梯形和角平分线的性质定理的逆定理．