Question

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点Q为线段AC上一点，若四边形OCPQ为平行四边形，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用线段关系求出A、B、C三点坐标，即可以求出抛物线解析式；
（2）根据线段AC特殊性质，知道AC的垂直平分线与抛物线交点即为所求，根据等腰三角形性质求出点P坐标；
（3）根据平行四边形性质，OC∥PQ，且PQ平行于y轴，OC=PQ，利用线段相等列出方程即可求出点Q坐标．

解答 解：（1）∵C （0，4），
∴OC=4．
∵OA=OC=4OB，
∴OA=4，OB=1，
∴A （4，0），B （-1，0），
设抛物线解析式：y=a（x+1）（x-4），
∴4=-4a，
∴a=-1．
∴y=-x²+3x+4．

（2）存在．
若△ACP是以AC为底的等腰三角形，则点P在AC的垂直平分线上，
∵OA=OC，
∴AC的垂直平分线OP即为∠AOC的平分线，
设P（m，-m²+3m+4），
则可得：m=-m²+3m+4，
∴m₁=$\sqrt{5}$+1，m₂=1-$\sqrt{5}$
∴存在点P₁（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$+1），P₂（1-$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$），使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形．

（3）设l_AC：y=kx+b（k≠0），
∵过A （4，0），C （0，4），
∴l_AC：y=-x+4．
∵四边形OCPQ为平行四边形，
∴PQ∥OC，PQ=OC，
设P（t，-t²+3t+4），Q（t，-t+4），
-t²+3t+4-（-t+4）=4．
∴t₁=t₂=2，
∴点Q（2，2）．

点评 题目考查了二次函数的综合应用，通过对抛物线解析式求解、等腰三角形应用、平行四边形性质应用的考查，对学生的知识综合应用有很大的提高，适合学生综合性试题训练．