Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；

（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长.

Answer 1

【答案】(1) ，点D的坐标为(2，-8) (2) 点F的坐标为(7，)或(5，)(3) 菱形对角线MN的长为或.

【解析】分析：（1）利用待定系数法，列方程求二次函数解析式.(2)利用解析法，∠FAB=∠EDB， tan∠FAG=tan∠BDE，求出F点坐标.(3)分类讨论，当MN在x轴上方时，在x轴下方时分别计算MN.

详解：

(1)∵OB=OC=6，

∴B(6，0)，C(0，-6).

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为.

∵=，

∴点D的坐标为(2，-8).

(2)如图，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为(x，).过点F作FG⊥x轴于点G，易求得OA=2，则AG=x+2，FG=.

∵∠FAB=∠EDB，

∴tan∠FAG=tan∠BDE，

即，

解得，(舍去).

当x=7时，y=，

∴点F的坐标为(7，).

当点F在x轴下方时，设同理求得点F的坐标为(5，).

综上所述，点F的坐标为(7，)或(5，).

(3)∵点P在x轴上，

∴根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).

如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.

∵PQ=MN，

∴MT=2PT.

设TP=n，则MT=2n. ∴M(2+2n，n).

∵点M在抛物线上，

∴，即.

解得，(舍去).

∴MN=2MT=4n=.

当MN在x轴下方时，设TP=n，得M(2+2n，-n).

∵点M在抛物线上，

∴，

即.

解得，(舍去).

∴MN=2MT=4n=.

综上所述，菱形对角线MN的长为或.