Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(1，0)，点B在抛物线y=ax2+ax2上．

（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；抛物线的解析式为 ；

（2）设抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（3）在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，2）；B（，1）； （2） （3）P（，）或（2，1）

【解析】

（1）过点B作BF⊥x轴于F，先根据勾股定理求出OA的长，即可得出点A的坐标，再求出OF、BF的长即可求出B的坐标；再把点B的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求出抛物线的解析式；

（2）先求出点D的坐标，再用待定系数法求出直线BD的解析式，设直线BD与x轴交点为E，求出CE的长，再根据S△DBC=S△CEB+S△CED进行计算即可；

（3）假设存在点P，①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的对应边相等可得出点P1点的坐标；

②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性质可得出点P2的坐标；点P1、P2的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可．

（1）∵C（-1，0），AC=，

∴OA==2，

∴A（0，2）；

过点B作BF⊥x轴于F，垂足为F，

∵∠ACO+∠CAO=90，∠ACO+∠BCF=90，

∴∠CAO=∠BCF，

在ΔAOC和ΔCFB中，

，

∴ΔAOC≌ΔCFB，

∴CF=AO=2，BF=CO=1，

∴OF=3，

∴B(-3，1)；

把B(-3，1)代入y=ax2+ax2中，得：1=9a-3a-2，

解得：a=，

∴抛物线的解析式为y=x2+x2，

故答案为：A（0，2）；B（，1）；；

（2）由知，抛物线的顶点坐标D(，)，
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：

，

解得：，

∴直线BD的解析式为，设直线BD与x轴交于点E，

则点E（，0），CE=，

∴S△DBC=S△CEB+S△CED==；

（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，
过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90 °，
∴△MP1C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P1M=BF=1，
∴P1(1，-1)；
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，
过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2(2，1)，
经检验，点P1(1，-1)与点P2(2，1)都在抛物线上．

综上所述，满足条件的P坐标为（，）或（2，1）.