Question

20．已知二次函数y=x²+bx-4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=$\frac{1}{4}$
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；
（3）是否存在实数x₁、x₂（x₁＜x₂），当x₁≤x≤x₂时，y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$？若存在，直接写出x₁，x₂的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据tan∠ACO=$\frac{1}{4}$，求出OA的值，即可判断出A点的坐标；然后把A点的坐标代入y=x²+bx-4，求出b的值，即可判断出二次函数的解析式．
（2）首先根据Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（-$\frac{3}{2}$，n）；然后根据∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，据此求出n的值，进而判断出Q点坐标即可．
（3）根据题意，分3种情况：①当x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$时；②当x₁≤-$\frac{3}{2}$≤x₂时；③当-$\frac{3}{2}$＜x₁≤x₂时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数x₁、x₂（x₁＜x₂），使得当x₁≤x≤x₂时，y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$即可．

解答 解：（1）如图1，连接AC，
，
∵二次函数y=x²+bx-4的图象与y轴的交点为C，
∴C点的坐标为（0，-4），
∵tan∠ACO=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{1}{4}$，
又∵OC=4，
∴OA=1，
∴A点的坐标为（1，0），
把A（1，0）代入y=x²+bx-4，
可得0=1+b-4，
解得b=3，
∴二次函数的解析式是：y=x²+3x-4．

（2）如图2，
，
∵y=x²+3x-4，
∴抛物线的对称轴是：x=-$\frac{3}{2}$，
∵Q为抛物线对称轴上的一点，
∴设点Q的坐标为（-$\frac{3}{2}$，n），
∵抛物线的对称轴平行于y轴，
∴∠CQP=∠OCQ，
又∵∠OQC=∠CQP，
∴∠OQC=∠OCQ，
∴OQ=OC，
∴$\sqrt{{（-\frac{3}{2}）}^{2}{+n}^{2}}=4$，
∴${n}^{2}+\frac{9}{4}=16$，
解得n=±$\frac{\sqrt{55}}{2}$，
∴Q点坐标是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{55}}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{55}}{2}$）．

（3）①当x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$时，二次函数y=x²+3x-4单调递减，
∵y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{3x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{1}}}\\{{{x}_{2}}^{2}+{3x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{2}}}\end{array}\right.$
由${{x}_{1}}^{2}$+3x₁-4=$\frac{12}{{x}_{1}}$，
解得x₁=-3，-2，2，
由${{x}_{2}}^{2}$+3x₂-4=$\frac{12}{{x}_{2}}$，
解得x₂=-3，-2，2，
∵x₁≤x₂≤-$\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-3}\\{{x}_{2}=-2}\end{array}\right.$

②当x₁≤-$\frac{3}{2}$≤x₂时，
Ⅰ、当-$\frac{3}{2}{-x}_{1}{≥x}_{2}-（-\frac{3}{2}）$时，
可得x₁+x₂≤-3，
∵y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4×1×（-4）{-3}^{2}}{4×1}=\frac{12}{{x}_{2}}…（1）}\\{{{x}_{1}}^{2}+{3x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{1}}…（2）}\end{array}\right.$
由（1），可得${x}_{2}=-\frac{48}{25}$，
由（2），可得x₁=-3，-2，2，
∵x₁≤-$\frac{3}{2}$＜x₂，$-\frac{3}{2}＞-\frac{48}{25}$，
∴没有满足题意的x₁、x₂．
Ⅱ、当-$\frac{3}{2}{-x}_{1}{＜x}_{2}-（-\frac{3}{2}）$时，
可得x₁+x₂＞-3，
∵y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4×1×（-4）{-3}^{2}}{4×1}=\frac{12}{{x}_{2}}}\\{{{x}_{2}}^{2}+{3x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{1}}}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1875}{949}}\\{{x}_{2}=-\frac{48}{25}}\end{array}\right.$
∵x₁+x₂=$-\frac{1875}{949}-\frac{48}{25}$≈-1.98-1.92=-3.9＜-3，
∴没有满足题意的x₁、x₂．

③当-$\frac{3}{2}$＜x₁≤x₂时，
二次函数y=x²+3x-4单调递增，
∵y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+{3x}_{1}-4=\frac{12}{{x}_{2}}…（1）}\\{{{x}_{2}}^{2}+{3x}_{2}-4=\frac{12}{{x}_{1}}…（2）}\end{array}\right.$
（1）×x₂-（2）×x₁，可得
（x₁-x₂）（x₁x₂+4）=0，
∵x₁-x₂≠0，
∴x₁x₂+4=0，
∴${x}_{2}=-\frac{4}{{x}_{1}}$…（1），
把（3）代入（1），可得
${x}_{1}=-3±\sqrt{13}$，
∵${x}_{1}＞-\frac{3}{2}$，
∴${x}_{1}=\sqrt{13}-3$，
∴${x}_{2}=\frac{-4}{{x}_{1}}=-\sqrt{13}-3$，
∵$-\sqrt{13}-3＜-\frac{3}{2}$，
∴没有满足题意的x₁、x₂．
综上，可得
x₁=-3，x₂=-2时，当x₁≤x≤x₂时，y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了待定系数法求二次函数的解析式的方法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．