如图△ABC中.AB=AC=10cm.BC=12cm.AD.BE是高．(1)求AD.BE的长,(2)点P是高AD的一动点.将线段CP绕点C逆时针旋转.使旋转角等于∠ABC.得到线段CF．①线段AC上有一点M.使△CPM≌△CFD.求CM的长,②当DF最短时.求AP的长,③动点Q从点A出发.以5cm/s的速度在边AD上向点P运动.到达点P后.再以3cm/s速度向终点B运动.直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD、BE是高．
（1）求AD，BE的长；
（2）点P是高AD的一动点，将线段CP绕点C逆时针旋转，使旋转角等于∠ABC，得到线段CF．
①线段AC上有一点M，使△CPM≌△CFD，求CM的长；
②当DF最短时，求AP的长；
③动点Q从点A出发，以5cm/s的速度在边AD上向点P运动，到达点P后，再以3cm/s速度向终点B运动，直接写出点Q运动时间的最小值．

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD=

BC，利用勾股定理列式求出AD，再利用△ABC的面积列出方程求解即可得到BE；
（2）①根据全等三角形对应边相等可得CM=CD；
②根据全等三角形对应边相等可得DF=PM，再根据垂线段最短可得PM⊥AD时PM最短，求出AM，再根据∠CAD的余弦列式计算即可求出AP；
③过点P作PN⊥AC于N，求出PN=

AP，然后判断出相当于点Q以3cm/s的速度从点N出发经点P到点B，再根据垂线段最短可知当BN⊥AC时，点Q的运动时间最小，然后根据时间=路程÷速度列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD是高，
∴BD=CD=

BC=

×12=6cm，
由勾股定理得，AD=

AB2-BD2

102-62

=8cm，
S_△ABC=

AC•BE=

BC•AD，
所以，

×10•BE=

×12•8，
解得BE=

cm；

（2）①∵△CPM≌△CFD，
∴CM=CD=6cm；
②∵△CPM≌△CFD，
∴DF=PM，

∴DF最短，即PM最短，当PM⊥AD时DF最短，
此时AM=AC-CM=10-6=4cm，
AP=AM•cos∠CAD=4×

cm；
③过点P作PN⊥AC于N，则PN=AP•sin∠CAD=

AP，
∵点Q从点A到点P的运动速度是5cm/s，从点P到点B的运动速度是3cm/s，
∴相当于点Q以3cm/s的速度从点N出发经点P到点B，
由垂线段最短，当BN⊥AC时，点Q的运动时间最小，
此时，BN、BE重合，t=

÷3=

秒．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，垂线段最短，难点在于（2）考虑利用垂线段最短解答．

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