Question

6．如图，已知：⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABD=$\frac{4}{3}$，AC=8，求⊙O的直径BC的长．

Answer 1

分析 （1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．
（2）根据三角函数的知识可求出AB，从而根据勾股定理求出BC的长，得出⊙O的直径．

解答 （1）略（2）10
（1）证明：连接OA；
∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，
∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，
∴DA为⊙O的切线．

（2）解：∵∠DBA=∠CBA，tan∠ABD=$\frac{4}{3}$，AC=8，
∴tan∠CBA=$\frac{4}{3}$，
∴AB=$\frac{AC}{tan∠CBA}$=$\frac{8}{\frac{4}{3}}$=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴⊙O的直径BC为10．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．