Question

14．已知一元二次方程（k-2）x²-4x+2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x²-4x+k=0与x²+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可求出k的值；
（2）结合（1）找出k的值，利用分解因式法求出方程x²-4x+k=0的根，再将x的值代入x²+mx-1=0中即可求出m的值．

解答 解：（1）∵一元二次方程（k-2）x²-4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-2≠0}\\{△=（-4）^{2}-4×（k-2）×2＞0}\end{array}\right.$，
解得：k＜4且k≠2．
（2）结合（1）可知k=3，
∴方程x²-4x+k=x²-4x+3=（x-1）（x-3）=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
当x=1时，有1+m-1=0，解得：m=0；
当x=3时，有9+3m-1=0，解得：m=-$\frac{8}{3}$．
故m的值为0或-$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式组，根据根的判别式得出不等式（或不等式组）是解题的关键