Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O与Rt△ACD的两直角边分别交于点E、F，点F是弧BE的中点，∠C=90°，连接AF．

（1）求证：直线DF是⊙O的切线．

（2）若BD=1，OB=2，求tan∠AFC的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）连结OF，BE，根得到BE∥CD，根据平行线的性质得到∠OFD=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）由OF∥AC可得比例线段求出AC长，再由勾股定理可求得DC长，则能求出CF长，tan∠AFC的值可求．

（1）证明：连结OF，BE，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠C=90°，

∴∠AEB=∠ACD，

∴BE∥CD，

∵点F是弧BE的中点，

∴OF⊥BE，

∴OF⊥CD，

∵OF为半径，

∴直线DF是⊙O的切线；

（2）解：∵∠C=∠OFD=90°，

∴AC∥OF，

∴△OFD∽△ACD，

∴，

∵BD=1，OB=2，

∴OD=3，AD=5，

∴，

∴CD===，

∵，

∴=，

∴tan∠AFC=．