Question

12．如图1，在正方形ABCD中，AB=1，点E在AB延长线上，联结CE、DE，DE交边BC于点F，设BE=x，CF=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）如图2，对角线AC、BD的交点记作O，直线OF交线段CE于点G，求证：∠CEB=∠COG；
（3）在（2）的条件下，当OG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质证明△DCF∽△EBF，得到成比例线段，代入x、y可以得到y关于x的函数解析式；
（2）由（1）的结论求出CF•AE的值，根据正方形的性质求出AC•CO的值，证明△OCF∽△EAC，得到答案；
（3）根据勾股定理求出CE，证明△OCG∽△ECA，得到比例式求出x的值．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DC∥AB，
∴$\frac{DC}{BE}$=$\frac{CF}{BF}$，即$\frac{1}{x}$=$\frac{y}{1-y}$，
∴y=$\frac{1}{x+1}$，x的取值范围是x＞0；
（2）∵CF•AE=$\frac{1}{x+1}$•（x+1）=1，
CA•CO=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
∴CF•AE=CA•CO，即$\frac{CF}{AC}$=$\frac{CO}{AE}$，
又∠OCF=∠EAC=45°，
∴△OCF∽△EAC，
∴∠CEB=∠COG；
（3）在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，∵∠CEB=∠COG，∠ECA=∠ECA，
∴△OCG∽△ECA，
∴$\frac{OG}{AE}$=$\frac{CO}{CE}$，即$\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{1+x}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$，
解得，x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=3，
经检验，它们都是方程的根，
∴x的值为3或$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．