Question

证明：任意14个连续正整数中，必有一个数不是2、3、5、7、11中任何一个数的倍数．

Answer 1

考点：约数与倍数

专题：

分析：根据题意得出14个连续的正整数，7奇7偶，再利用7的倍数，11的倍数以及3，5的倍数的特征分析得出答案．

解答：证明：∵14个连续的正整数，7奇7偶．
∴7个偶数被2整除，只须考虑7个奇数，
不妨设为 x-6，x-4，x-2，x，x+2，x+4，x+6
很显然，这7个数中，
被7整除的最多只有一个，
被11整除的最多也只有一个．
被3整除的最多有3个（x-6，x，x+6）
被5整除的最多有2个 （x-6，x+4 或 x-4，x+6）
这样，1+1+3+2=7个，
但由于 x-6，x，x+6 与 x-6，x+4 或 x-4，x+6中 必有一数相同，
故“这7个数”是无法实现都是3、5、7、11的倍数，
因此，任意14个连续正整数中，必有一个数不是2、3、5、7、11中任何一个数的倍数．

点评：此题主要考查了约数与倍数，正确把握倍数的特征进而分析得出是解题关键．