Question

15．如图，P为等边△ABC内一点，PA=2，PB=1，PC=$\sqrt{3}$，则△ABC的面积为$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质BA=BC，∠ABC=60°，则把△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，利用旋转的性质有BD=BP=1，AD=CP=$\sqrt{3}$，∠DBP=∠ABC=60°，△BAD≌△BCP，于是可判断△BDP为等边三角形，所以PD=PB=1，∠BPD=∠BDP=60°，S_△BPD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，接着利用勾股定理的逆定理证明∠ADP=90°，则∠APD=60°，S_△ADP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以S_△PAB+S_△PBC=S_△ADB+S_△PAB=S_△ADP+S_△BPD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，然后证明△APC为直角三角形，则S_△APC=$\sqrt{3}$，所以S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△APC=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
把△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，
∴BD=BP=1，AD=CP=$\sqrt{3}$，∠DBP=∠ABC=60°，△BAD≌△BCP，
∴△BDP为等边三角形，
∴PD=PB=1，∠BPD=∠BDP=60°，S_△BPD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
在△ADP中，∵AD=$\sqrt{3}$，PD=1，PA=2，
∴AD²+PD²=PA²，
∴△ADP为直角三角形，∠ADP=90°，
而PA=2PD，
∴∠APD=60°，S_△ADP=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△PAB+S_△PBC=S_△ADB+S_△PAB=S_△ADP+S_△BPD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵∠ADB=∠ADP+∠BDP=90°+60°=150°，
∴∠BPC=150°，
∵∠APB=∠APD+∠BPD=60°+60°=120°，
∴∠APC=360°-150°-120°=90°，
∴△APC为直角三角形，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△APC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是勾股定理的应用和证明∠APC=90°．