Question

如图，在△ABC中，AB=AC，EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，分别以AE、AF为边在△ABC的外部作等边△AEG和△AFH，BF、CG交于点O．求证：
（1）BH=CG；
（2）AO平分∠BAC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据已知条件结合图形可以判断△AGC≌△AHB，利用全等三角形的性质即可证明BH=CG；
（2）观察图形容易发现，欲证明AO平分∠BAC，只要证明△ABO≌△ACO，为此只需证明OB=OC，∠ABO=∠ACO．

解答：解：（1）∵△AEG和△AFH均为等边三角形，
∴∠GAE=∠HAF=60°，AG=AE，AH=AF；
∵∠GAC=∠GAE+∠EAC，∠HAB=∠HAF+∠FAB，
∴∠GAC=∠HAB；
∵EF∥BC，
∴

AE

AB

=

AF

AC

，而AB=AC，
∴AE=AF．
又∵AG=AE，AH=AF，
∴AG=AH；
在△AGC与△AHB中，

AG=AH ∠GAC=∠HAB AC=AB

，
∴△AGC≌△AHB（SAS），
∴BH=CG．
（2）∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=CF；
又∵EF∥BC，
∴四边形BCFE为等腰梯形，
故∠EBC=∠FCB，EC=FB；
在△EBC与△FCB中，

BE=CF EC=FB BC=CB

，
∴△EBC≌△FCB（SSS），
∴∠OCB=∠OBC，故OB=OC；
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO=∠ACO；
在△ABO与△ACO中，

AB=AC ∠ABO=∠ACO OB=OC

，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴∠BAO=∠CAO，
即AO平分∠BAC．

点评：考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．