Question

请阅读下列材料：
问题：如图①，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=120°，试探究PG与PC的位置关系及∠PCG的大小．小明同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小明的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及∠PCG的大小；
（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图②）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长GP交DC于点H，构造全等三角形，从而得出DH=GF，PH=PG，进而得出△GCH是等腰三角形，得出PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，由∠ABC=120°，得出∠BCD=60°，即可证得∠PCG=30°；
（2）延长GP交AD于点H，先证得△DPH≌△FPG，从而得出PH=PG，DH=FG=BG，进进而证得△CDH≌△CBG，得出CH=CG，∠DCH=∠BCG，即可证得CP⊥PG，由∠HCG=∠HCB+∠BCG=∠HCB+∠DCH=∠DCB=60°，证得∠PCG=

1

2

∠HCG=30°．

解答：解：（1）PG⊥PC，∠PCG=30°；
如图①，延长GP交DC于点H，
∵在菱形ABCD和菱形BEFG中，AE∥DC，AE∥GF，
∴DC∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，
在△PDH和△PFG中，

∠PDH=∠PFG PD=PF ∠DPH=∠FPG

，
∴△PDH≌△PFG（ASA），
∴DH=GF，PH=PG，
∵BG=GF，
∴DH=BG，
∵DC=BC，
∴HC=GC，
∴△GCH是等腰三角形，
∴PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴∠PCG=30°；

（2）（1）中两个结论仍成立；　　　　　
证明：如图②，延长GP交AD于点H，连接CG，
∵四边形ABCD和BEFG是菱形
∴AD∥BC，BE∥FG，
∵E在CB的延长线上
∴AD∥FG，
∴∠HDP=∠GFP，
在△DPH和△FPG中，

∠HDP=∠GFP DP=FP ∠DPH=∠FPG

，
∴△DPH≌△FPG（ASA），
∴PH=PG，DH=FG=BG，
在△CDH和△CBG中，

DH=BG ∠HDC=∠CBG=120° DC=BC

，
∴△CDH≌△CBG（SAS），
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴CP⊥PG，
∵∠HCG=∠HCB+∠BCG=∠HCB+∠DCH=∠DCB=60°，
∴∠PCG=

1

2

∠HCG=30°．

点评：本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．