Question

4．如图，两个形状、大小完全相同的含有30゜、60゜的三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）直接写出∠DPC的度数．
（2）若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度（如图②），若PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数；
（3）如图③，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3゜/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2゜/秒，（当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当2∠CPD=3∠BPM，求旋转的时间是多少．

Answer 1

分析 （1）利用含有30゜、60゜的三角板得出∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB，进而求出即可；
（2）设∠CPE=∠DPE=x，∠CPF=y，则∠APF=∠DPF=2x+y，进而利用∠CPA=60゜求出即可；
（3）设旋转时间为t秒，则∠BPM=2t°，∠CPD=90°-t°，得到2（90-t）=3×2t，即可解答．

解答 解：（1）∵∠DPC=180°-∠CPA-∠DPB，∠CPA=60°，∠DPB=30°，
∴∠DPC=180゜-30゜-60゜=90゜；
（2）设∠CPE=∠DPE=x，∠CPF=y，
则∠APF=∠DPF=2x+y，
∵∠CPA=60゜，
∴y+2x+y=60゜，
∴x+y=30゜
∴∠EPF=x+y=30゜
（3）设旋转时间为t秒，则有：
∠BPM=2t°，∠CPD=180°-30°-60°-3t°+2t°=90°-t°
∴2（90-t）=3×2t
∴t=22.5 即当2∠CPD=3∠BPM，旋转的时间为22.5秒．

点评 此题主要考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．