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【题目】如图1,抛物线的顶点为C14),交x轴于AB两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(30).

1)求抛物线的解析式;

2)如图2,点EBD上方抛物线上的一点,连接AEDB于点F,若AF=2EF,求出点E的坐标.

3)如图3,点M的坐标为(0),点P是对称轴左侧抛物线上的一点,连接MP,将MP沿MD折叠,若点P恰好落在抛物线的对称轴CE上,请求出点P的横坐标.

【答案】1;(2E23)或(14);(3P点横坐标为

【解析】

(1) 抛物线的顶点为C14),设抛物线的解析式为,由抛物线过点B,30),即可求出a的值,即可求得解析式;

2)过点EF分别作x轴的垂线,交x轴于点MN,设点E的坐标为,求出AD点的坐标,得到OM=x,则AM=x+1,由AF=2EF得到,从而推出点F的坐标,由,列出关于x的方程求解即可;

3)先根据待定系数法求出直线DM的解析式为y=-2x+3,过点PPTy轴交直线DM于点T,过点F作直线GHy轴交PT于点G,交直线CE于点H.证明△FGP≌△FHQ,得到FG=FHPT=GH.设点Pm-m+2m+3),则Tm-2m+3),则PT=m-4mGH=1-m可得m-4m=1-m),解方程即可.

1)∵抛物线的顶点为C14),

∴设抛物线的解析式为

∵抛物线过点B,30),

解得a=-1

∴设抛物线的解析式为

2)如图,过点EF分别作x轴的垂线,交x轴于点MN,设点E的坐标为

∵抛物线的解析式为

y=0时,

解得x=-1x=3

A-1.0),

∴点D0,3),

∴过点BD的直线解析式为,点F在直线BD上,

OM=xAM=x+1

解得x=1x=2

∴点E的坐标为(23)或(14);

3)设直线DM的解析式为y=kx+b,过点D0,3),M0),

可得,

解得k=-2b=3

∴直线DM的解析式为y=-2x+3

tanDMO=2

如图,过点PPTy轴交直线DM于点T,过点F作直线GHy轴交PT于点G,交直线CE于点H.

PQMT

∴∠TFG=TPF

TG=2GFGF=2PG

PT=GF

PF=QF

∴△FGP≌△FHQ

FG=FH

PT=GH.

设点Pm-m+2m+3),则Tm-2m+3),

PT=m-4mGH=1-m

m-4m=1-m),

解得:,或(不合题意,舍去),

∴点P的横坐标为.

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