【题目】如图1,抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点E是BD上方抛物线上的一点,连接AE交DB于点F,若AF=2EF,求出点E的坐标.
(3)如图3,点M的坐标为(,0),点P是对称轴左侧抛物线上的一点,连接MP,将MP沿MD折叠,若点P恰好落在抛物线的对称轴CE上,请求出点P的横坐标.
【答案】(1);(2)E(2,3)或(1,4);(3)P点横坐标为
【解析】
(1) 抛物线的顶点为C(1,4),设抛物线的解析式为,由抛物线过点B,(3,0),即可求出a的值,即可求得解析式;
(2)过点E、F分别作x轴的垂线,交x轴于点M、N,设点E的坐标为,求出A、D点的坐标,得到OM=x,则AM=x+1,由AF=2EF得到,从而推出点F的坐标,由,列出关于x的方程求解即可;
(3)先根据待定系数法求出直线DM的解析式为y=-2x+3,过点P作PT∥y轴交直线DM于点T,过点F作直线GH⊥y轴交PT于点G,交直线CE于点H.证明△FGP≌△FHQ,得到FG=FH,PT=GH.设点P(m,-m+2m+3),则T(m,-2m+3),则PT=m-4m,GH=1-m,可得m-4m=(1-m),解方程即可.
(1)∵抛物线的顶点为C(1,4),
∴设抛物线的解析式为,
∵抛物线过点B,(3,0),
∴,
解得a=-1,
∴设抛物线的解析式为,
即;
(2)如图,过点E、F分别作x轴的垂线,交x轴于点M、N,设点E的坐标为,
∵抛物线的解析式为,
当y=0时,,
解得x=-1或x=3,
∴A(-1.0),
∴点D(0,3),
∴过点BD的直线解析式为,点F在直线BD上,
则OM=x,AM=x+1,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得x=1或x=2,
∴点E的坐标为(2,3)或(1,4);
(3)设直线DM的解析式为y=kx+b,过点D(0,3),M(,0),
可得,,
解得k=-2,b=3,
∴直线DM的解析式为y=-2x+3,
∴,,
∴tan∠DMO=2,
如图,过点P作PT∥y轴交直线DM于点T,过点F作直线GH⊥y轴交PT于点G,交直线CE于点H.
∵PQ⊥MT,
∴∠TFG=∠TPF,
∴TG=2GF,GF=2PG,
∴PT=GF,
∵PF=QF,
∴△FGP≌△FHQ,
∴FG=FH,
∴PT=GH.
设点P(m,-m+2m+3),则T(m,-2m+3),
∴PT=m-4m,GH=1-m,
∴m-4m=(1-m),
解得:,或(不合题意,舍去),
∴点P的横坐标为.
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【题目】甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教.
(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名,则所选的2名教师性别相同的概率是 .
(2)若从报名的4名教师中随机选2名,用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率.
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【题目】如图,是边长为的等边三角形,边在射线上,且,点从点出发,沿OM的方向以1cm/s的速度运动,当D不与点A重合时,将绕点C逆时针方向旋转60°得到,连接DE.
(1)如图1,求证:是等边三角形;
(2)如图2,当6<t<10时,DE是否存在最小值?若存在,求出DE的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)当点D在射线OM上运动时,是否存在以D,E,B为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知有理数-3,1.
(1)在下列数轴上,标出表示这两个数的点,并分别用A,B表示;
(2)若|m|=2,在数轴上表示数m的点,介于点A,B之间,在A的右侧且到点B距离为5的点表示为n.
①计算m+n-mn;
②解关于x的不等式mx+4<n,并把解集表示在下列数轴上.
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【题目】济宁某校为了解九年级学生艺术测试情况.以九年极(1)班学生的艺术测试成绩为样本,按、、、四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(说明:级:90分~100分;级:75分~89分;级60分~74分;级:60分以下)
(1)此次抽样共调查了多少名学生?
(2)请求出样本中级的学生人数,井补全条形统计图;
(3)若该校九年级有1000名学生,请你用此样本估计艺术测试中分数不低于75分的学生人数,
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【题目】如图1,抛物线的顶点为点,与轴的负半轴交于点,直线交抛物线W于另一点,点的坐标为.
(1)求直线的解析式;
(2)过点作轴,交轴于点,若平分,求抛物线W的解析式;
(3)若,将抛物线W向下平移个单位得到抛物线,如图2,记抛物线的顶点为,与轴负半轴的交点为,与射线的交点为.问:在平移的过程中,是否恒为定值?若是,请求出的值;若不是,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点B (4,0)、D (5,3),设它与x轴的另一个交点为A(点A在点B的左侧),且△ABD的面积是3.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求∠ADB的正切值;
(3)若抛物线与y轴交于点C,直线CD交x轴于点E,点P在射线AD上,当△APE与△ABD相似时,求点P的坐标.
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