Question

【题目】如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，BD＝6cm．

（1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）求⊙O的半径长．

（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6；（3）（）cm2．

【解析】

（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝60°，根据平行线的性质得到∠A＝∠OBD＝30°，于是求得∠ACO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）设OC交BD于E，由（1）得，OC⊥AC，根据平行线的性质得到OC⊥BD，求得BD＝6 ，解直角三角形即可得到结论；

（3）根据平行线的判定定理得到OA∥CD，推出四边形ABDC是平行四边形，求得AC＝BD＝6，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．

（1）证明：如图，连接OC，

∵∠CDB＝∠OBD＝30°，

∴∠BOC＝60°．

∵AC∥BD，

∴∠A＝∠OBD＝30°，

∴∠BOC+∠A＝90°．

∴∠ACO＝90°．

又∵点C在⊙O上，

∴AC为⊙O切线；

（2）解：设OC交BD于E，

由（1）得，OC⊥AC，

∵AC∥BD，

∴OC⊥BD，

∴E为BD的中点，

∵BD＝ ，

∴BE＝，

在Rt△OBE中， ，

即，

∴ ，

解得OB＝6，

即⊙O的半径长为6cm；

（3）∵∠CDB＝∠OBD，

∴OA∥CD，

∵AC∥BD，

∴四边形ABDC是平行四边形，

∴AC＝BD＝6 ，

∴

=．

答：阴影部分的面积为（）cm2．