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【题目】如图所示, 中,∠BAC=90°,∠C=30°,BC=2,⊙O是△ABC的外接圆,D是CB延长线上一点,且BD=1,连接DA,点P是射线DA上的动点。

(1)求证DA是⊙O的切线;

(2)DP的长度为多少时,∠BPC的度数最大,最大度数是多少?请说明理由。

(3)P运动的过程中,(PB+PC)的值能否达到最小,若能,求出这个最小值,若不能,说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2);90°;(3)

【解析】试题分析:(1)、连接AO,根据题意得出△ABO为等边三角形,从而得出∠DAO为直角,从而得出切线;(2)、根据圆外角小于圆周角得出点P的位置;(3)、作点C关于射线DA的对称点,则,当点共线时, 的值达到最小,.过点作DC的垂线,垂足记为点H,连接,根据勾股定理的性质求出最小值,得出答案.

试题解析:(1)、连接AO,易知:

⊙o的切线;

(2)、当点P运动到A处时,即时, 的度数达到最大,为.

理由如下:若点P不在A处时,不妨设点P在DA的延长线上的时,

连接BP,与⊙o交于一点,记为点E,连接CE,则.

(3)、作点C关于射线DA的对称点,则,当点共线时, 的值达到最小,最小为.过点作DC的垂线,垂足记为点H,连接

所以为等边三角形,故H为DC的中点,

由勾股定理求出所以的最小值为.

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