Question

1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=

1

2

n(n+1)，其中n是正整数．
现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式
1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2）
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3）
3×4=

1

3

（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5=20
读完这段材料，请你思考后回答：
（1）直接写出下列各式的计算结果：
①1×2+2×3+3×4+…10×11=

 

②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=

 

（2）探究并计算：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

 

（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=

 

．

Answer 1

考点：有理数的乘法,有理数的加法

专题：阅读型,规律型

分析：（1）观察已知的三个等式，得出一般性的规律即可，
（2）由（1）总结出一般性规律，将各项变形后，去括号合并即可得到结果．

解答：解：（1）直接写出下列各式的计算结果：
①1×2+2×3+3×4+…10×11=440，
②1×2+2×3+3×4+…n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2），
（2）探究并计算：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）
（3）请利用（2）的探究结果，直接写出下式的计算结果：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12=4290．
故答案为：440，

1

3

n（n+1）（n+2），

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3），4290．

点评：此题考查了规律型：数字的变化类，其中弄清题意，得出一般性的规律是解本题的关键．