Question

5．已知关于x的方程x²-mx-3x+m-4=0（m为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁，x₂是方程的两个实数根，且x₁+x₂=6．请求出方程的这两个实数根．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式△=（-m-3）²-4（m-4）=m²+2m+25=（m+1）²+24，证明△＞0，即方程有两个不相等的实数根；
（2）首先根据x₁+x₂=6求出m的值，然后根据公式法求出方程的两个根．

解答 （1）证明：∵关于x的方程x²-mx-3x+m-4=0（m为常数），
∴此方程为x²-（m+3）x+m-4=0，
∴△=（-m-3）²-4（m-4）=m²+2m+25=（m+1）²+24，
∴△＞0，
∴关于x的方程x²-mx-3x+m-4=0有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x₁，x₂是方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=m+3，x₁•x₂=m-4，
∵x₁+x₂=6，
∴m+3=6，
∴m=3，
∴原一元二次方程为：x²-6x-1=0，
解得x₁=3$+\sqrt{10}$，x₂=$3-\sqrt{10}$，
∴此方程两根分别为：x₁=3$+\sqrt{10}$，x₂=$3-\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的根，则根的判别式△＞0，此题还要掌握公式法解一元二次方程，此题难度不大．