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【题目】阅读理解:

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹.

例如:角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹.

问题:如图1,已知EF为ABC的中位线,M是边BC上一动点,连接AM交EF于点P,那么动点P为线段AM中点.

理由:线段EF为ABC的中位线,EFBC,

由平行线分线段成比例得:动点P为线段AM中点.

由此你得到动点P的运动轨迹是:

知识应用:

如图2,已知EF为等边ABC边AB、AC上的动点,连结EF;若AF=BE,且等边ABC的边长为8,求线段EF中点Q的运动轨迹的长.

拓展提高:

如图3,P为线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),在线段AB的同侧分别作等边APC和等边PBD,连结AD、BC,交点为Q.

(1)求AQB的度数;

(2)若AB=6,求动点Q运动轨迹的长.

【答案】阅读理解:EF;知识应用:4;拓展提高:(1)AQB=120°,(2)动点Q运动轨迹的长π

【解析】

试题分析:阅读理解:根据轨迹的定义可知,动点P的运动轨迹是线段EF.知识应用:如图1中,作ABC的中位线MN,作EGAC交NM的延长线于G,EF与MN交于点QGQE≌△NQF,推出Q、Q重合即可解决问题.拓展提高:如图2中,(1)只要证明APD≌△CPB,推出DQG=BPG=60°结论解决问题.(2)由(1)可知点P的运动轨迹是,设弧AB所在圆的圆心为O,Z 圆上任意取一点M,连接AM,BM,则M=60°,作OHAB于H,则AH=BH=3,OH=,OB=2,利用弧长公式即可解决.

试题解析:阅读理解:根据轨迹的定义可知,动点P的运动轨迹是线段EF.

知识应用:如图1中,作ABC的中位线MN,作EGAC交NM的延长线于G,EF与MN交于点Q

∵△ABC是等边三角形,MN是中位线,

AM=BM=AN=CN,

AF=BE,

EM=FN,

MNBC,

∴∠AMN=B=GME=60°

∵∠A=GEM=60°

∴△GEM是等边三角形,

EM=EG=FN,

GQE和NQF中,

∴△GQE≌△NQF,

EQ=FQ

EQ=QF,

点Q、Q重合,

点Q在线段MN上,

段EF中点Q的运动轨迹是线段MN,

MN=BC=×8=4.

线段EF中点Q的运动轨迹的长为4.

拓展提高:如图2中,

(1)∵△APC,PBD都是等边三角形,

AP=PC,PD=PB,APC=DPB=60°

∴∠APD=CPB,

APD和CPB中,

∴△APD≌△CPB,

∴∠ADP=CBP,设BC与PD交于点G,

∵∠QGD=PGB,

∴∠DQG=BPG=60°

∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°

(2)由(1)可知点P的运动轨迹是,设弧AB所在圆的圆心为O,Z 圆上任意取一点M,连接AM,BM,则M=60°

∴∠AOB=2M=120°,作OHAB于H,则AH=BH=3,OH=,OB=2

弧AB的长==π

动点Q运动轨迹的长π

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