Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°；

（1）如图1，EM∥AB，分别交AF、AD于点Q、M，求证：FD=FQ；

（2）如图2，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，∠DEC=30°，HF=，求EC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）6

【解析】

试题分析：（1）证得△ADF≌EQF，即可证得结论；

（2）延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．

（1）证明：如图1，∵∠EAF=45°，AF⊥BD，

∴AF=EF，

∵EM∥AB，∠BAC=90°，

∴∠AME=90°，

∴∠AQM+∠FAD=90°，

∵∠ADF+∠FAD=90°，

∴∠AQM=∠ADF，

∴∠EQF=∠ADF，

在△ADF和EQF中，

，

∴△ADF≌EQF（AAS），

∴FD=FQ；

（2）解：如图2，延长AF交CE于P，

∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，

∴∠ABH=∠PAC，

∵AK⊥CE，AF⊥BD，∠EHK=∠AHF，

∴∠HEK=∠FAH，

∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，

∴∠AHF=∠EPF，

∴∠AHB=∠APC，

在△ABH与△APC中，

，

∴△ABH≌△APC（ASA），

∴AH=CP，

在△AHF与△EPF中，

，

∴△AHF≌△EPF（AAS），

∴AH=EP，∠CED=∠HAF，

∴EC=2AH，

∵∠DEC=30°，

∴∠HAF=30°，

∴AH=2FH=2×=3，

∴EC=2AH=6．