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【题目】某市在党中央实施精准扶贫政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司,某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为w万元.(毛利润=销售额﹣生产费用)

(1)请直接写出yx以及zx之间的函数关系式;

(2)求wx之间的函数关系式;并求年产量多少万件时,所获毛利润最大?最大毛利润是多少?

(3)由于受资金的影响,今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多少万元的毛利润?

【答案】(1)y=x2,z=﹣x+30;(2)W==﹣x2+30x,年产量为75万件时毛利润最大,最大毛利润为1125万元;(3)今年最多可获得1080万元的毛利润.

【解析】

(1)结合图象,利用待定系数法求出yx以及zx之间的函数关系式即可;(2)根据毛利润=销售额﹣生产费用可得wx之间的函数关系式,再利用二次函数的性质求解即可;(3)令y=0,解方程求得x的值,根据图象结合y的取值范围求得x的取值范围,再由二次函数的性质即可解答.

(1)图①可得函数经过点(100,1000),

设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0),

将点(100,1000)代入得:1000=10000a,

解得:a=

yx之间的关系式为y=x2

图②可得:函数经过点(0,30)、(100,20),

z=kx+b,则

解得:

zx之间的关系式为z=﹣x+30;

(2)W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2

=﹣x2+30x

=﹣(x2﹣150x)

=﹣(x﹣75)2+1125,

<0,

∴当x=75时,W有最大值1125,

∴年产量为75万件时毛利润最大,最大毛利润为1125万元;

(3)令y=360,得x2=360,

解得:x=±60(负值舍去),

由图象可知,当0<y≤360时,0<x≤60,

W=﹣(x﹣75)2+1125的性质可知,

0<x≤60时,Wx的增大而增大,

故当x=60时,W有最大值1080,

答:今年最多可获得毛利润1080万元.

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