Question

6．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点G，A，B在同一条直线上，点H，C，D在同一条直线上．
（1）图①中，AE，CF分别是∠BAD和∠DCB的平分线，则AE与CF的位置关系？
（2）图②中，AE，CF分别是∠GAD和∠HCB的平分线，则AE与CF的位置关系？
（3）图③中，AE，CF分别是∠BAD和∠HCB的平分线，则AE与CF的位置关系？
（4）请从（1）（2）（3）题中任选一个，证明你得出的结论．

Answer 1

分析 （1）结合图形易得图1中AE与CF的位置关系；
（2）结合图形易得图2中AE与CF的位置关系；
（3）结合图形易得图3中AE与CF的位置关系；
（4）图1中，根据四边形的内角和是360°，可得∠1+∠2+∠3+∠4的度数．根据角平分线的定义，可得∠1与∠3互余，再由三角形的内角和定理得∠1与∠5也互余，同角的余角相等，得出∠3=∠5，根据同位角相等两直线平行，得证AE∥FC．

解答 解：（1）图1中AE∥FC；
（2）图2中AE∥FC；
（3）图3中AE⊥FC．

（4）选择图1证明．如图1：
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠D）=360°-180°=180°，
又∵AE、CF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线，
∴∠1+∠3=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠BCD）=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
又∵∠B=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴AE∥FC；
选择图2证明，如图2，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠BCD=360°-2×90°=180°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BCD=90°，
∴∠GAD=∠BCD，
∵AE是∠GAD的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠GAD=$\frac{1}{2}$∠BCD，
同理可得：∠2=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠1+$\frac{1}{2}$∠BAD=90°，
延长CD交AE于点P，∠ADC=90°，
∴∠1+∠P=90°，
∴∠P=$\frac{1}{2}$∠BAD，
即∠P=∠2，
∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）；
选择图3证明．如图3：
∵∠B+∠BAD+∠D+∠DCB=360°，
又∵∠B=∠D=90°，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∵∠DCB+∠BCE=180°，
∴∠BAD=∠BCE，
∵AE、AF分别是∠BAD和∠DCB的内角平分线和外角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠2=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，∠1+∠B+∠4=180°，∠2+∠CMA+∠3=180°，
∵∠B=90°∠1+∠4=∠2+∠3，
∴∠CMA=∠B=90．
∴AE⊥CF．

点评 本题考查了多边形内角与外角，平行线的性质，三角形内角和定理，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．