Question

【题目】如图，在矩形中，是的中点，动点在线段上，连接并延长交射线于点，过点作的垂线交于点，设的中点为，连接，．

(1)当点不与点重合时，求证：；

（2）①当点与点或点重合时，是等腰直角三角形，当点与点或点不重合时，请判定的形状；

②求点移动的最长距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①等腰直角三角形，理由详见解析；②．

【解析】

（1）由矩形的性质可以得出∠A=∠FDM=90°，∠AEM=∠DFM，再证明AM=DM即可证出结论；

（2）①如图1，过点作于，证，推出，再证GF=GE，即可判定的形状；

②由题意可判断出点H的运动路程为CG的一半，可直接写出结果；

(1)∵四边形是矩形，

∴，

是的中点，

，

又，

；

（2）①过点作于，如图①，

，

是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

∵是的中点，

，

，

，

，

，

由（1）得，

，

，

，

，

是等腰直角三角形；

②如图②，当点与点重合时，

，

，

为的中点，

当点运动到时，点与重合，

，

，

∴点移动的最长距离为．