Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）经过原点O和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0， 2)．

（1）a= ，b= ，c= ；

（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；

（3）设⊙P与x轴相交于M、N两点，M在N的左边．当△AMN为等腰三角形时，直接写出圆心P的横坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）0或或

【解析】

（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可；

（2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可；

（3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN时，求出a的值，进而得出圆心P的横坐标即可．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，

∴抛物线的一般式为：y=ax2，

∴=a（）2，

解得：a=±，

∵图象开口向上，

∴a=，

∴抛物线解析式为：y=x2，

故a=，b=c=0；

（2）设P(x,y),P的半径，

又∵,则 ，

化简得：，

∴点P在运动过程中，P始终与x轴相交；

（3）设P（a，a2），

∵PA=，

作PH⊥MN于H，则PM=PN=，

又∵PH=a2，

则MH=NH==2，

故MN=4，

∴M（a﹣2，0），N（a+2，0），

又∵A（0，2），

∴AM=，AN=，

当AM=AN时，=，

解得：a=0，

当AM=MN时，=4，

解得：；

当AN=MN时，=4，

解得：；

综上所述，P的横坐标为0或或．