Question

1．（1）如图（1），E为平行四边形ABCD内一点，求证：S_△ADE+S_△BCE=S_△ABE+S_△DCE；
（2）如图（2），若点E在平行四边形ABCD边CD所在直线上方，请探究S_△ADE、S_△BCE、S_△ABE、S_△DCE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥CD 于M，直线EM交AB于点N，根据平行线的性质得到EN⊥AB，根据三角形的面积公式得到S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EN，S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EM，于是得到S_△ABE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$AB（EM+EN）=$\frac{1}{2}$AB•MN=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，同理S_△ADE+S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，等量代换得到结论；
（2）过E作EF⊥AB于点F，交CD于点G． 于是得到S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EG+$\frac{1}{2}$AB•GF=$\frac{1}{2}$ S_{平行四边形ABCD}+$\frac{1}{2}$AB•EG，由于S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EG，S_△ABG=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，等量代换得到结论．

解答 证明：（1）如图（1），作EM⊥CD 于M，直线EM交AB于点N，
∵AB‖CD，
∴EN⊥AB，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EN，S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EM，
∵AB=CD，
∴S_△ABE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$AB（EM+EN）=$\frac{1}{2}$AB•MN=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，同理S_△ADE+S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴S_△ADE+S_△BCE=S_△ABE+S_△DCE；

（2）如图（2），过E作EF⊥AB于点F，交CD于点G． 则S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EF
=$\frac{1}{2}$AB•（EG+GF）
=$\frac{1}{2}$AB•EG+$\frac{1}{2}$AB•GF
=$\frac{1}{2}$ S_{平行四边形ABCD}+$\frac{1}{2}$AB•EG，
又∵S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EG，S_△ABG=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}，
∴S_△ABE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形ABCD}．
∴S_△ABE=S_△ADE+S_△CDE+S_△BCE．

点评 本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的面积和三角形的面积的求法，熟记三角形的面积公式是解题的关键．