【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与
轴的一个交点为点
,与
轴的交点为点
,抛物线的对称轴
与
轴交于点
,与线段
交于点
,点
是对称轴
上一动点.
(1)点的坐标是________,点
的坐标是________;
(2)是否存在点,使得
和
相似?若存在,请求出点
的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,抛物线的对称轴向右平移与线段
交于点
,与抛物线交于点
,当四边形
是平行四边形且周长最大时,求出点
的横坐标.
【答案】(1),
;(2)存在,
或
;(3)
.
【解析】
(1)令x=0,求出y值可得B点坐标,令y=0,求出x值,根据点A在对称轴右侧可得点A坐标;
(2)根据抛物线解析式可求出对称轴为直线x=,根据A、B坐标可得直线AB的解析式,进而可求出点E坐标,即可求出CE的长,分
、
、
三种情况,分别利用相似三角形的性质求出点D坐标即可得答案;
(3)过点做
,设
,
,可用m表示出FG的长,利用勾股定理可求出AB的长,根据平移的性质可用m表示出FH的长,由平行线的性质可得
,即可证明△BOA∽△EHF,根据相似三角形的性质可用m表示出EF的长,即可用m表示出平行四边形
的周长,根据二次函数的性质即可得答案.
(1)令x=0得:y=3,
∴点B坐标为(0,3),
令y=0得:=0,
解得:x1=-1,x2=6,
∵点A在对称轴右侧,
∴点A坐标为(6,0),
故答案为:,
(2)存在,理由如下:
∵抛物线解析式为,
∴对称轴为直线,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(6,0),B(0,3)
∴;
解得:,
∴直线的解析式为
∴当时,
,即E(
,
),
∴
①如图,当时,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
②当时,过点B作BF⊥l于F,
∵,
,
∴,
∵对称轴为直线,
∴,EF=CF-CE=
,
∵∠BDF+∠DBF=90°,∠EBF+∠DBF=90°,
∴∠BDF=∠EBF,
∵∠BFD=∠BFE,
∴,
∴,即
,
解得:DF=5,
∴CD=CF+DF=3+5=8,
∴.
③当时,不合题意舍去.
综上所述:或
.
(3)过点做
,设
,
,
∴,
∵抛物线的对称轴向右平移与线段
交于点
,
∴,
∵OA=6,OB=3,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴△BOA∽△EHF,
∴,即
,
∴,
∴,
∵,
∴时平行四边形周长最大,
∴的横坐标为
.
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【题目】如图,点E在矩形ABCD对角线AC上由A向C运动,且BC=2,∠ACB=30°,连结EF,过点E作EF⊥DE,交BC于点F(当点F与点C重合时,点E也停止运动)
(1)如图1,当AC平分角∠DEF时,求AE的长度;
(2)如图2,连结DF,与AC交于点G,若DF⊥AC时,求四边形DEFC的面积;
(3)若点E分AC为1:2两部分时,求BF:FC.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线
交
轴于
、
(
左
右)两点,交
轴于点
,
,
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为第二象限抛物线上一点,连接
、
,
交
轴于点
,过点
做
轴的垂线,垂足为点
,过点
做直线
轴,在
轴上方直线
上取一点
,连接
,使
,连接
交
轴于点
,当
时,求线段
的长;
(3)在(2)的条件下,点为第二象限抛物线上的一点,连接
,过点
做
于点
,连接
,线段
、
分别交线段
于点
、
,当
时,求
的长度.
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【题目】已知二次函数的
与
的部分对应值如表:
下列结论:抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线
;③当
时,
;④抛物线与
轴的两个交点间的距离是
;⑤若
是抛物线上两点,则
,其中正确的个数是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况,随机调查了九年级学生对A,B,C,D,E五类校本课程的喜爱情况,要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程,根据调查结果绘制了如下的两个统计图.
请根据图中所提供的信息,完成下列问题:
(1)本次被调查的学生的人数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中,C类所在扇形的圆心角的度数为 ;
(4)若该中学有4000名学生,请估计该校喜爱C,D两类校本课程的学生共有多少名.
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【题目】为倡导“绿色出行,低碳生活”的号召,今年春天,安庆市的街头出现了一道道绿色的风景线--“共享单车”. 图(1)所示的是一辆共享单车的实物图. 图(2)是这辆共享单车的部分几何示意图,其中车架档AC长为40cm,座杆CE的长为18cm. 点A、C、E在同一条直线上,且∠CAB=60°,∠ACB=75°
(1)求车座点E到车架档AB的距离;
(2)求车架档AB的长.
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