Question

18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A点出发，沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点在分别达到B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
（1）运动开始后第T秒时，△PBQ的面积等于8cm²．
（2）设运动开始后第T秒时，五边形PQCD的面积为Scm²，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围；
（3）T为何值时S最小？求出S的最小值．

Answer 1

分析 （1）表示出PB，QB的长，利用△PBQ的面积等于8列式求值即可；
（2）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△BPQ的面积，用S=S_矩形ABCD-S_△PBQ求面积即可；
（3）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值．

解答 解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于8cm²．
则AP=x，QB=2x．
∴PB=6-x．
∴$\frac{1}{2}$×（6-x）2x=8，
解得x₁=2，x₂=4．
答：2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm²．
（2）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，
故S_△PBQ=$\frac{1}{2}$•（6-t）•2t=-t²+6t
∵S_矩形ABCD=6×12=72．
∴S=72-S_△PBQ=t²-6t+72（0＜t＜6）；
（3）∵S=t²-6t+72=（t-3）²+63，
∴当t=3秒时，S有最小值63cm²．

点评 本题考查了二次函数的最值在解决面积问题中的运用．关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积，把所得的代数式看作二次函数求最值