Question

7．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=70°．现给出以下四种结论：①∠A=45°；②AC=AB；③AE=BE；④CE•AB=2BD²．其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 连接AD，根据圆周角定理可知∠ADB=90°，再由CD=CB可知AD是BC的垂直平分线，可知②正确；连接DE，BE，由圆内接四边形的性质可知∠CDE=∠CAB，故可得出△CDE∽△CAB，由此可判断出④正确．

解答 解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵CD=BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，故②正确；
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，故①错误；
连接BE，DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABE=50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，故③错误；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{2BD}$，
∴CE•AB=2BD²，故④正确．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．