Question

【题目】点A，B，C为数轴上的三点，如果点C在点A，B之间，且到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇妙点．例如，如图①，点A表示的数为－3，点B表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇妙点；又如，表示－2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇妙点．

（知识运用）

如图②，M，N为数轴上的两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为6.

(1)表示数_____的点是{M，N}的奇妙点；表示数______的点是{N，M}的奇妙点；

(2)若点P所表示的数为3，点P是{M，N}的奇妙点，则点M、N所表示的数可以是几？M=______，N=_____(写出一组即可)

(3)如图③，A，B为数轴上的两点，点A所表示的数为－10，点B所表示的数为50.现有一动点P从点A出发向右运动，点P运动到数轴上的什么位置时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的奇妙点？

Answer 1

【答案】（1）4，0；（2）6；2；（3）p对应的数是5，35，70，230.

【解析】

（1）根据定义发现：奇妙点表示的数到{ M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而得出结论；根据定义发现：奇妙点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；
（2）根据定义，即可解答;

（3）点A到点B的距离为60，由奇妙点的定义分情况讨论，可以得出结论．

(1)∵6－(－2)＝8，

∴8÷4＝2，

∵6－2＝4，

∴表示数4的点是{M，N}的奇妙点

∵－2＋2＝0.

∴表示数0的点是{N，M}的奇妙点．

故答案为:4，0

(2)令M为6，则MP=3NP

∵MP=3

∴NP=1

∴N为2

故答案为:6，2

（3）设点P表示的数为x（﹣10＜x），

∵点A表示数﹣10，点B表示数50，

∴AP＝x﹣（﹣10）＝x+10，AB＝50﹣（﹣10）＝60，

当P在B的右侧时：BP＝x﹣50；当P在B的左侧时：BP＝50﹣x

①当点P是（A，B）的“奇妙点”时，

∴AP＝3BP，

∴x+10＝3（50-x），

∴x＝35，

②当点P是（B，A）的“奇妙点”时，

∴BP＝3AP，

∴50-x＝3（x+10），

∴x＝5，

③当点B是（P，A）的“奇妙点”时，

∴BP＝3AB，

∴x﹣50＝180，

∴x＝230，

④当点B是（A，P）的“奇妙点”时，

∴AB＝3BP，

∴60＝3（x﹣50），

∴x＝70，

即：p对应的数是5，35，70，230.