Question

【题目】如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上)，与MN的另一个交点R，连结AC，DE．

(1)当∠APB＝28°时，求∠B的度数和弧CM的度数．

(2)求证：AC＝AB．

(3)若MP=4，点P为射线MN上的一个动点，

①求MR的值

②在点P的运动过程中，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求此时所有满足条件的MQ的值．

Answer 1

【答案】(1)∠B=76°，=56°；(2)证明见解析；(3)①MR=；②MQ的值为或或.

【解析】

（1）连接MD，结合垂直平分线的性质与等腰三角形性质结合三角形内角和定理，中位线定理求解即可；
（2）求证∠ABC=∠ACB即可；
（3）①连接CR，AR，结合勾股定理求解即可；②分为当∠ACQ=90°时；当∠QCD=90°时；当∠QDC=90°时；当∠AEQ=90°时，分类讨论即可．

解：(1)∵MN⊥AB，AM=BM，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

∵∠APB=28°，

∴∠B=76°，

如图1，连接MD，

∵MD为△PAB的中位线，

∴MD∥AP，

∴∠MDB=∠APB=28°，

∴=2∠MDB=56°；

(2)∵∠BAC=∠MDC=∠APB，

又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，

∴∠BAP=∠ACB，

∵∠BAP=∠B，

∴∠ACB=∠B，

∴AC=AB；

(3)①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，

∵MD是Rt△MBP的中线，

∴DM=DP，

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，

∴RC=RP，

∵∠ACR=∠AMR=90°，

∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，

∴12+MR2=22+PR2，

∴12+(4﹣PR)2=22+PR2，

∴PR=，

∴MR=，

②Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，

∴Q与R重合，

∴MQ=MR=；

Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，

在Rt△QCP中，PQ=2PR=，

∴MQ=；

Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，

∵BM=1，MP=4，

∴BP=，

∴DP=BP=，

∵cos∠MPB=，

∴PQ=，

∴MQ=；

Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，

由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，

∴MQ=；

综上所述，MQ的值为或或.