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【题目】如图,四边形ABCD为圆内接四边形,A为弧BD中点,连接对角线AC,E在AC上,且AE=AB求证:

(1)∠CBE=∠CAD;

(2)AC2=BCCD+AB2

【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析

【解析】

(1)连接BDACF,根据圆的性质得:∠ABD=∠ACB=∠ACD,由等腰三角形的性质得:∠ABE=∠AEB,根据外角的性质得:∠CBE=∠DBE,从而得结论;

(2)先根据两角相等两三角形相似证明:△ACD∽△BCF和△ABF∽△ACB,列比例式后,化为乘积式后相加可得结论.

证明:(1)连接BD交AC于F,

∵A为弧BD中点,

∴弧AB=弧AD,

∴∠ABD=∠ACB=∠ACD,

∵AB=AE,

∴∠ABE=∠AEB,

∵∠AEB=∠ACB+∠CBE,∠ABE=∠ABD+∠DBE,

∴∠CBE=∠DBE,

∵∠CAD=∠CBD=2∠CBE,

∴∠CBE=∠CAD,

(2)∵∠DBC=∠CAD,∠ACB=∠ACD,

∴△ACD∽△BCF,

∴BCCD=ACCF①,

∵∠ABF=∠ACB,∠BAF=∠CAB,

∴△ABF∽△ACB,

∴AB2=ACAF②,

①+②得:AB2+BCCD=ACCF+ACAF=AC(CF+AF),

∴AC2=BCCD+AB2

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