Question

已知抛物线y=x²-（m²+8）x+2（m²+6）．
（1）求证：无论m取任何实数，此函数的图象都与x轴有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于A点，若△ABC的面积为48，求m的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先计算判别式得到△=[-（m²+8）]²-4×1×2（m²+6）=（m²+4）²，再根据非负数的性质得△＞0，然后根据二次函数y=ax²+bx+c的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系即可得到结论；
（2）先由y=x²-（m²+8）x+2（m²+6）求出A、B、C三点的坐标，得到BC的长度，再根据△ABC的面积为48列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．

解答：（1）证明：△=[-（m²+8）]²-4×1×2（m²+6）=m⁴+8m²+16=（m²+4）²，
∵m²≥0，
∴（m²+4）²＞0，即△＞0，
∴无论取任何实数，此函数的图象都与x轴有两个交点；

（2）解：∵y=x²-（m²+8）x+2（m²+6），
∴当y=0时，x²-（m²+8）x+2（m²+6）=0，
解得x₁=m²+6，x₂=2，
∴BC=m²+6-2=m²+4．
当x=0时，y=2（m²+6），
∴A点的坐标为（0，2m²+12）．
∵△ABC的面积为48，
∴

1

2

×（m²+4）×（2m²+12）=48，
整理，得m⁴+10m²-24=0，
解得m=±

2

．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，抛物线与坐标轴交点坐标的求法，三角形的面积，难度适中．