Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ=2AP，CR=3AP，DS=4AP．
（1）若∠SPQ=90°，求AP的长；
（2）当AP为何值时，四边形PQRS的面积y最小并求此最小值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,正方形的性质

专题：

分析：（1）先证明△APS∽△BQP，得出比例式

AP

BQ

=

AS

BP

，设出AP为x，得出

4-4x

4-x

=

1

2

，求出x即可；
（2）四边形PQRS的面积=正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，得出y是x的二次函数，即可求出答案．

解答：解：（1）设AP长为x，则BQ=2AP=2x，CR=3AP=3x，DS=4AP=4x，
∴BP=4-x，AS=4-4x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠A=∠B=90°，
∴∠ASP+∠APS=90°，
∵∠SPQ=90°，
∴∠APS+∠BPQ=90°，
∴∠ASP=∠BPQ，
∴△APS∽△BQP，
∴

AP

BQ

=

AS

BP

，
∵BQ=2AP，
∴

AS

PB

=

1

2

，
∴

4-4x

4-x

=

1

2

，解得 x=

4

7

，
即AP=

4

7

；
（2）y=S四边形PQRS=42-S△APS-S△DRS-S△CQR-S_△BPQ
=16-

1

2

x(4-4x)-

1

2

4x(4-3x)-

1

2

×3x(4-2x)-

1

2

×2x(4-x)
=12x²-20x+16
=12(x-

5

6

)2+

23

3

，
∵12＞0，
∴y有最小值，当x=

5

6

，即AP=

5

6

时，y最小=

23

3

．

点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值；证明三角形相似得出比例式是解题关键．