Question

1．已知关于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0的两根为x₁，x₂
（1）求k的取值范围．
（2）设x₁，x₂为一矩形的两邻边，是否存在k的值，使该矩形的对角线长为$2\sqrt{3}$？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由关于x的一元二次方程 x²+3x-m=0有实数根，即可得判别式△≥0，即可得不等式3²+4m≥0，继而求得答案；
（2）由根与系数的关系，即可得x₁+x₂=2，x₁x₂=k-1，又由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，即可得方程2²-2（k-1）=12，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0有实数根，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4（k-1）≥0，
解得：k≤2；

（2）∵x₁+x₂=2，x₁x₂=k-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴2²-2（k-1）=12，
解得：k=-3．

点评 此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．