Question

15．如图，P是抛物线y=-x²+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为6．

Answer 1

分析 设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C=-2（x-1）²+6．根据二次函数的性质来求最值即可．

解答 解：∵y=-x²+x+2，
∴当y=0时，-x²+x+2=0即-（x-2）（x+1）=0，
解得 x=2或x=-1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C=2（x+y）=2（x-x²+x+2）=-2（x-1）²+6．
∴当x=1时，C_最大值=6，．
即四边形OAPB周长的最大值为6．
故答案是：6．

点评 本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．