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【题目】如图1,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0,﹣1),且经过点A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变,就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点P,直线l是经过(0,1)且平行与x轴的直线,过点P作直线l的垂线,垂足为D,猜想并探究:PO与PD的差是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由. (注:在解题过程中,如果你觉得有困难,可以阅读下面的材料)
附阅读材料:
① 在平面直角坐标系中,若A、B两点的坐标分别为A(x1 , y1),B(x2 , y2),则A,B两点间的距离为|AB|= ,这个公式叫两点间距离公式.
例如:已知A,B两点的坐标分别为(﹣1,2),(2,﹣2),则A,B两点间的距离为|AB|= =5.
② 因式分解:x4+2x2y2+y4=(x2+y22

【答案】
(1)解:根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1,

将点A(﹣2,0)代入,得:4a﹣1=0,

解得:a=

∴抛物线的解析式为y= x2﹣1


(2)解:如图,

根据题意,当﹣2≤x≤2时,y=﹣ x2+1;

当x<﹣2或x>2时,y= x2﹣1;

可得点M(﹣2 ,1)、点N(2 ,1),

① 当﹣2≤x≤2时,设点P坐标为(a,﹣ a2+1),

则PO﹣PD= ﹣[1﹣(﹣ a2+1)]

= a2+1﹣ a2

=1;

②当﹣2 ≤x<﹣2或2 时,设点P的坐标为(a, a2﹣1),

则PO﹣PD= ﹣[1﹣( a2﹣1)]

= a2+1﹣2+ a2

= a2﹣1;

③当x<﹣2 或x>2 时,设点P的坐标为(a, a2﹣1),

则PO﹣PD= ﹣[( a2﹣1)﹣1]

= a2+1﹣ a2+2

=3;

综上,当x<﹣2 、﹣2≤x≤2或x>2 时,PO与PD的差为定值


【解析】(1)待定系数法求解可得;(2)先根据题意表示出翻折后抛物线解析式,再求出y=1时x的值,继而可分﹣2≤x≤2、﹣2 ≤x<﹣2或2 、x<﹣2 或x>2 三种情况,根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数图象以及系数a、b、c的关系和坐标与图形变化-对称的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握二次函数y=ax2+bx+c中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上; a<0时,抛物线开口向下b与对称轴有关:对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c);关于x轴对称的点的特征:两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y);关于y轴对称的点的特征:两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y).

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分组

划记

频数

正正

11

19

合计

2

50

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=

=

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=

=

=

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=

=﹣20+3﹣5+12

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