【题目】如图1,抛物线y=ax2+b的顶点坐标为(0,﹣1),且经过点A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变,就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点P,直线l是经过(0,1)且平行与x轴的直线,过点P作直线l的垂线,垂足为D,猜想并探究:PO与PD的差是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由. (注:在解题过程中,如果你觉得有困难,可以阅读下面的材料)
附阅读材料:
① 在平面直角坐标系中,若A、B两点的坐标分别为A(x1 , y1),B(x2 , y2),则A,B两点间的距离为|AB|= ,这个公式叫两点间距离公式.
例如:已知A,B两点的坐标分别为(﹣1,2),(2,﹣2),则A,B两点间的距离为|AB|= =5.
② 因式分解:x4+2x2y2+y4=(x2+y2)2 .
【答案】
(1)解:根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1,
将点A(﹣2,0)代入,得:4a﹣1=0,
解得:a= ,
∴抛物线的解析式为y= x2﹣1
(2)解:如图,
根据题意,当﹣2≤x≤2时,y=﹣ x2+1;
当x<﹣2或x>2时,y= x2﹣1;
由 可得点M(﹣2 ,1)、点N(2 ,1),
① 当﹣2≤x≤2时,设点P坐标为(a,﹣ a2+1),
则PO﹣PD= ﹣[1﹣(﹣ a2+1)]
= a2+1﹣ a2
=1;
②当﹣2 ≤x<﹣2或2 时,设点P的坐标为(a, a2﹣1),
则PO﹣PD= ﹣[1﹣( a2﹣1)]
= a2+1﹣2+ a2
= a2﹣1;
③当x<﹣2 或x>2 时,设点P的坐标为(a, a2﹣1),
则PO﹣PD= ﹣[( a2﹣1)﹣1]
= a2+1﹣ a2+2
=3;
综上,当x<﹣2 、﹣2≤x≤2或x>2 时,PO与PD的差为定值
【解析】(1)待定系数法求解可得;(2)先根据题意表示出翻折后抛物线解析式,再求出y=1时x的值,继而可分﹣2≤x≤2、﹣2 ≤x<﹣2或2 、x<﹣2 或x>2 三种情况,根据两点间距离公式列式表示出PO与PD的差即可得出答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数图象以及系数a、b、c的关系和坐标与图形变化-对称的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握二次函数y=ax2+bx+c中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a>0时,抛物线开口向上; a<0时,抛物线开口向下b与对称轴有关:对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标:(0,c);关于x轴对称的点的特征:两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y);关于y轴对称的点的特征:两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y).
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【题目】如图,∠AOB=120°,OC是∠AOB内部任意一条射线,OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线,下列叙述正确的是( )
A. ∠DOE的度数不能确定 B. ∠AOD=∠EOC
C. ∠AOD+∠BOE=60° D. ∠BOE=2∠COD
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,且与AD交于点F.G是边AB的中点,连接EG交AD于点H.
(1)求证:△AEF≌△BEC;
(2)求证:CD=AF;
(3)若BD=2,求AH的长.
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【题目】.某区在实施居民用水额定管理前,对居民生活用水情况进行了调查,下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量单位:吨,并将调查数据进行如下整理:
频数分布表
分组 | 划记 | 频数 |
正正 | 11 | |
19 | ||
合计 | 2 50 |
把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整;
从直方图中你能得到什么信息? 写出两条即可;
为了鼓励节约用水,要确定一个用水量的标准,超出这个标准的部分按倍价格收费,若要使的家庭收费不受影响,你觉得家庭月均用水量应该定为多少?为什么?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,OD垂直弦AC于点E,且交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线与BA的延长线相交于点F,下列结论不一定正确的是( )
A.∠CDB=∠BFD
B.△BAC∽△OFD
C.DF∥AC
D.OD=BC
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【题目】决心试一试,请阅读下列材料:计算:
解法一:原式=
=
=
解法二:原式=
=
=
=
解法三:原式的倒数为:
=
=﹣20+3﹣5+12
=﹣10
故原式 =
上述得出的结果不同,肯定有错误的解法,你认为解法 是错误的,在正确的解法中,你认为解法 最简捷.然后请解答下列问题,计算:.
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【题目】按图中方式用火柴棒搭正方形
①搭1个正方形需要 根火柴棒;
②搭2个正方形需要 根火柴棒,搭3个正方形需要 根火柴棒;
③搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒;
④搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?
⑤如果用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴交流。
⑥根据你的计算方法,搭200个这样的正方形需要多少根火柴棒?
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