Question

如图，直角坐标系中，A点是第二象限内一点，AB⊥x轴于B，且C（0，2）是y轴正半轴上一点，OB-OC=2，AB=4．

（1）求A点坐标；
（2）设D为线段OB上一动点，当∠CDO=∠A时，CD与AC之间存在怎么样的位置关系？证明你的结论；
（3）当D点在线段OB上运动时，作DE⊥CD交AB于E，∠BED，∠DCO的平分线交于M，现在给出两个结论：①∠M的大小不变；②∠BED+∠CDO的大小不变．其中有且只有一个是正确的，请你选出正确结论，并给予证明．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,垂线,平行公理及推论,三角形内角和定理

专题：探究型

分析：（1）OC=2，OB-OC=2，则OB=2+2=4，加上AB=4，然后根据第二象限点的坐标特征写出A点坐标；
（2）作AH⊥y轴于H，如图1，根据平行线的性质由AB∥y轴得∠BAC=∠ACH，由于∠BAC=∠CDO，则∠ACH=∠CDO，易得∠ACH+∠DCO=90°，所以∠ACD=90°，根据垂线的定义即可得到AC⊥CD；
（3）如图2，由CD⊥DE得到∠CDO+∠BDE=90°，根据等角的余角相等易得∠BED=∠CDO；连结DM，如图2，理由角平分线定义得到∠3=

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∠BED，∠4=

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∠DCO，则有∠3+∠4=

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（∠BED+∠DCO）=45°，再利用三角形外角性质得到∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，所以∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6，即可计算出∠M=45°，即∠M的大小不变．

解答：解：（1）∵C（0，2），OB-OC=2，
∴OB=2+2=4，
而AB⊥x轴，AB=4，
∴A点坐标为（-4，4）；

（2）CD⊥AC．理由如下：
作AH⊥y轴于H，如图1，
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴∠BAC=∠ACH，
∵∠BAC=∠CDO，
∴∠ACH=∠CDO，
而∠CDO+∠DCO=90°，
∴∠ACH+∠DCO=90°，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD；

（3）如图2，∵CD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDO+∠BDE=90°，
而∠BDE+∠BED=90°，
∴∠BED=∠CDO，所以②错误；
连结DM，如图2，
∵∠CDO+∠DCO=90°，
∴∠BED+∠DCO=90°，
∵∠BED，∠DCO的平分线交于M，
∴∠3=

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∠BED，∠4=

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∠DCO，
∴∠3+∠4=

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（∠BED+∠DCO）=45°，
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6，
即90°=45°+∠M，
∴∠M=45°，
即∠M的大小不变，所以①正确．

点评：本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算出相应的线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形内角和定理和三角形外角性质．