Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC=AE；
（2）求线段DE的长；
（3）求△ABC的外接圆的面积．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由圆O的圆周角∠ACB=90°，根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是△ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）先根据勾股定理求出AB的长，再利用AE=AC，CD=DE结合勾股定理得出DE的长；
（3）根据直角三角形斜边的中点即是其外接圆的圆心，即可得出外接圆半径长，进而得出结论．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），
∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，

CD=ED AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，
∴AB=

AC2+CB2

=

52+122

=13，
设DE=x，则BD=12-x，BE=13-5=8，
故x²+8²=（12-x）²，
解得：x=

10

3

，
故DE的长为：

10

3

；

（3）解：由（2）得：△ABC外接圆的半径=

1

2

AB=

1

2

×13=

13

2

，
故△ABC的外接圆的面积为：π×（

13

2

）²=

169

4

π．

点评：本题考查的是圆周角定理，涉及到勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，能灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键．