Question

如图，二次函数y=-x²+mx+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）令x=0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的长，进而得到点B的坐标；把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式；
（2）若△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，故点P的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可．

解答：解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，3）．
∵S_△OAB=

1

2

×BO×3=6，
∴BO=4．
∴B（-4，0），
把点B的坐标（-4，0）代入y=-x²+mx+3，
得-（-4）²+m×（-4）+3=0．
解得m=-

13

4

．
∴所求二次函数的解析式为y=-x²-

13

4

x+3；

（2）当△ABP是等腰三角形时，需分类讨论：

①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（4，0）；
②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（1，0）或（-9，0）；
③如图3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得

x2+32

=|x+4|．
解得x=-

7

8

．
∴点P的坐标为（-

7

8

，0），
综上所述，点P的坐标为（4，0），（1，0），（-9，0），（-

7

8

，0）．

点评：本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质，注意当△ABP是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．