Question

如图，点C是半圆O的半径OB上的动点，作PC⊥AB于点C，点D是半圆上位于PC左侧的点，连结BD交线段PC于E，且PD=PE．
（1）若⊙O的半径为4，PC=8，OC=1，求∠B的正切值与正弦值；
（2）连结AD，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD、OP，先证明∠PDO=90°，然后根据勾股定理求得OP的长，进而根据勾股定理求得PE的长，即可求得CE的长，根据勾股定理求得EB的长，从而求得∠B的正切值与正弦值；
（2）根据圆周角的性质求得∠ADB=90°利用∠B的正弦值和AB的长即可求得AD的长．

解答：解：（1）连接OD、OP，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．                
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．                
∴∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．                            
∴PD是⊙O的切线．                       
在Rt△POC中，
OP²=OC²+PC²=1+64=65．                    
在Rt△PDO中，
PD²=OP²-OD²=65-16=49．
∴PD=7，
∵PD=PE．
∴PE=7，
∴EC=PC-PE=8-7=1，
∴BE=

CE2+CB2

=

1+32

=

10

，
∴tanB=

CE

CB

=

1

3

，sinB=

CE

EB

=

1

10

=

10

10

；

（2）∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴sinB=

AD

AB

，
∴AD=AB•sinB=8×

10

10

=

4 10

5

．

点评：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理的应用及综合解直角三角形的能力．