Question

如图，抛物线y=x²-x-2交x轴于A，B两点，交y轴于C．过A、C画直线点M在抛物线上，过M作MH⊥AC，垂足为H．若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：当H点在C点上方时，当M在x轴上方时，连接CM交x轴于点E，由条件可证得AE=CE，可求得E点坐标，进一步可求得CE的解析式，联立两函数解析式可求得M点；当H在C点下方时，由条件可证明CM∥AB，可得出M点的坐标．

解答：解：令y=0，即x²-x-2=0，解得x=-1或x=2，
∴A（-1，0），C（0，-2），
∴AO=1，CO=2，
如图1，当H点在C点上方时，设直线CM交x轴于点E，

∵△CHM∽△AOC，
∴∠OAC=∠MCH，
∴EA=EC，
设E点坐标为（x，0），则OE=x，
∴AE=x+1，
在Rt△OCE中，OE=x，OC=2，由勾股定理可得CE=

x2+4

，
∴x+1=

x2+4

，
解得x=1.5，即E点坐标为（1.5，0），且C（0，-2），
设直线CE解析式为y=kx-2，把E点坐标代入可求得k=

4

3

，
∴直线CE解析式为y=

4

3

x-2，
联立两函数解析式可得

y=x2-x-2 y= 4 3 x-2

，解得

x=0 y=0

（舍去）或

x= 7 3 y= 22 3

，
此时M点坐标为（

7

3

，

22

3

）；
如图2，当H点在C点下方时，

∵△CHM∽△AOC，
∴∠OAC=∠MCH，
又∵∠MCH=∠ACN，
∴∠MCH=∠OAC，
∴CM∥x轴
∴M点纵坐标为-2，代入y=x²-x-2可得x²-x=0，解得x=0（舍去）或x=1，
此时M点坐标为（1，-2）；
综上可知，M点的坐标为（

7

3

，

22

3

）或（1，-2）．

点评：本题主要考查相似三角形的性质及等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识的综合应用，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键，注意分两种情况讨论及方程思想的应用．