Question

10．已知，如图在△ABC中，AC=BC=10，cos∠CAB=$\frac{3}{5}$与AB重合的直线PQ沿AC方向以1单位/s的速度平移，点E从点A出发沿AB方向以$\frac{6}{5}$单位/s的速度移动，当点E到达B点时，E与PQ同时停止运动．
（1）求AB边上的高及AB的长．
（2）是否存在t使△PEQ为等腰三角形？若存在求出t的值，若不存在请说明理由．
（3）把△PEQ沿直线PQ对折得△PMQ，设△PMQ与△CPQ重叠的面积为S，试求出S关于t的关系式以及其自变量t的取值范围，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角函数即可求出结果；
（2）如图2，过 P、Q分别作PF⊥AB于F，QG⊥AB于G，在R_t△PAF中，根据三角函数求得AF=$\frac{3}{5}$t，PF=$\frac{4}{5}$t，EF=AF=$\frac{3}{5}$t，当PQ=PE时，根据△CPQ∽△CAB，得到比例式$\frac{PQ}{AB}=\frac{CP}{CA}$，即可得到结果；当EP=EQ时，则E是AB的中点，得到t=5；当QP=QE时，作QM⊥PE，由△QME∽△PEF，得到比例式即可求得结果t=$\frac{360}{61}$；
（3）当0＜t＜5时，S=△PQE的面积，当5≤t≤10时，S=S_△CPQ-S_△EPQ，代入数值即可求出．

解答 解：（1）如图1，过H作CH⊥AB于H，
∵AB=AC=10，cos∠CAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AH}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴AH=6，
∴CH=$\sqrt{{AC}^{2}{-AH}^{2}}$=8
∴AB=12，AB边上的高=8；

（2）如图2，过 P、Q分别作PF⊥AB于F，QG⊥AB于G，
在R_t△PAF中，AF=$\frac{3}{5}$t，PF=$\frac{4}{5}$t，
∴EF=AF=$\frac{3}{5}$t，
∴AP=PE=t，
当PQ=PE时，∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴$\frac{PQ}{AB}=\frac{CP}{CA}$，即$\frac{t}{12}=\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{60}{11}$；
当EP=EQ时，则E是AB的中点，
∴$\frac{6}{5}$t=6，
∴t=5；
当QP=QE时，作QM⊥PE，∴∠QPE=∠QEP，
∵PQ∥AB，
∴∠QPE=∠PEF，
∴∠QEM=∠PEF，
∴△QME∽△PEF，
∴$\frac{ME}{FE}=\frac{QE}{PE}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}t}{\frac{3}{5}t}$=$\frac{QE}{t}$，
∴QE=$\frac{5}{6}t$，
∴PQ=$\frac{5}{6}t$，
∴$\frac{PQ}{AB}=\frac{CP}{CA}$，
∴$\frac{\frac{5}{6}t}{12}=\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{360}{61}$；

（3）当0＜t＜5时，
∵PF=$\frac{4}{5}t$，
∴$\frac{PQ}{12}=\frac{8-\frac{4}{5}t}{8}$，
∴PQ=$\frac{3}{2}（8-\frac{4}{5}t）$，
∴S=$\frac{1}{2}$•PQ•PF=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}（8-\frac{4}{5}t）×\frac{4}{5}t$=-${\frac{12}{25}t}^{2}+\frac{24}{5}t$，
∴当t=5时，S_最大=12，
当5≤t≤10时，S=S_△CPQ-S_△EPQ=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}（8-t）\frac{4}{5}（10-t）$=${\frac{12}{25}t}^{2}$-$\frac{48}{5}t$+48，
∴当t=5时，S_最大=12．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，动点问题，分类讨论和正确的作出辅助线是解题的关键．