Question

14．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．
（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．
（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y=-$\frac{2}{3}$x²+80x．（含x的代数式），当x=60cm时，y最大，最大面积是2400cm²．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的对边平行可得HG∥EF，然后得到△AHG与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，求出HG，即可得出正方形的面积；
（2）证出△AEF∽△ABC，得出比例式得出HE，得出长方形的面积y是x的二次函数，再利用二次函数的最值问题进行求解即可．

解答 解：（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴HG∥EF，GH=HE=ID，
∴△AHG∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
∵BC=120cm，AD=80cm，
∴$\frac{80-HG}{80}=\frac{HG}{120}$，
解得：HG=48cm，
∴正方形EFGH的面积=HG²=48²=2304（cm²）；
（2）∵四边形EFGH是长方形，
∴HG∥EF，
∴△AEF∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
即$\frac{80-HE}{80}=\frac{x}{120}$，
解得：HE=-$\frac{2}{3}$x+80，
∴长方形EFGH的面积y=x（-$\frac{2}{3}$x+80）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴当x=60，即EF=60cm时，长方形EFGH有最大面积，最大面积是2400cm²；
故答案为：-$\frac{2}{3}$x²+80x，60cm，2400cm²．

点评 本题考查了长方形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题；根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出长方形的边长是解决问题（2）的关键．