Question

7．如图，线段AB的长为$30\sqrt{2}$，点D在AB上，△ACD是边长为15的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　）

• A． $15\sqrt{2}$
• B． 15
• C． $30\sqrt{2}$
• D． 30

Answer 1

分析 根据题意可以知道当BO与DP垂直时，BO取得最小值，此时BO的长度等于BD•sin∠PDB与CD的一半的和，本题得以解决．

解答 解：如果，作射线MO⊥CD，则点M为CD的中点，
由题意可得，点O为矩形CDGH的中点，所以无论G在射线DP上如何变化，O点的运动轨迹在CD的中垂线上，即O点在射线MO上．
∵DP⊥CD，
∴MO∥DP
线段BO的最小值为B到射线MO的最小距离，所以当BO⊥DP时，BO取得最小值，
∵△ACD是边长为15的等边三角形，四边形CDGH是矩形，
∴∠PDB=180°-60°-90°=30°，线段AB的长为$30\sqrt{2}$，
∴BD=AB-AD=30$\sqrt{2}-15$，
∴BO的最小值是：BD•sin30°+$\frac{15}{2}$=（30$\sqrt{2}$-15）×$\frac{1}{2}$+$\frac{15}{2}$=15$\sqrt{2}$，
故选A．

点评 本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．